El radián.

Navegando por el ancho mar de la internet, hallé esta curiosa imagen:

En el primer cuadro se ve un reloj con algunos quebrados extraños junto a Pi y los resultados de dicha multiplicación, en el segundo cuadro, sale un tipo diciendo algo que en español es: ¿Me estás viendo la cara?
Obviamente los números fuera del reloj no corresponden con algo aparentemente ¿pero que tal si les digo que hay una forma de entender el chiste?

Creo que todos estamos familiarizados con el concepto de ángulo, y generalmente la primera forma con la que nos enseñan a medirlos son los famosos grados (o grados sexagesimales):

Éstos dividen al círculo en 360 partes.

Pero conforme uno avanza en la escuela, los grados empiezan a ponerse un poco díficiles o trabajosos de manejar, por lo que después a uno le enseñan los radianes. Un radián se define como el ángulo que se forma cuando el radio de una circunferencia se extiende sobre su diámetro. La siguiente imagen puede ayudar a explicarlo un poco mejor:

Más explicito: la magnitud en radianes de un ángulo cualquiera es igual al cociente de la longitud del arco entre el radio del círculo, esto es, si θ es el ángulo en radianes, x es la longitud del arco y r es el radio de la circunferencia, entonces:

por lo tanto, 360 grados serán igual a:

solo "cancelamos" las 'r'

 Para transformar de radianes a grados sexagesimales usaremos:

Y para transformar de grados a radianes:

Regresando a la imagen del inicio, si transformamos a grados sexagesimales cada uno de los números que hay en el reloj, nos daremos cuenta de que en realidad son ángulos los que mide el reloj (en intervalos de 30 grados), pero no lo haré yo, se le deja como ejercicio al lector.

Hasta la próxima.

¿Que forma tiene el universo?

¿Será esférico como un balón, como una silla de montar ó es plano como una hoja? Esta es una pregunta que sigue abierta y no ha sido completamente resuelta para la forma total del universo por una razón: No sabemos si estamos viendo todo el universo, por lo que los astrónomos se han conformado por el momento con estudiar la forma del universo observable, el cual mide de lado a lado unos 93x10⁹ años-luz, esto puede parecer raro, dado que el universo solo tiene una edad cercana a los 14x10⁹ años y esperariamos que la luz que recibimos de todas partes del universo no sobrepasara la edad de esa última cifra, pero la expansión del universo se acelera conforme pasa el tiempo debido a la influencia de energía oscura.

La concentración de materia en el universo puede afectar su la velocidad de la expansión en determinadas regiones por lo tanto también su afecta su forma y recordemos que la cosmología es expresada mediante soluciones a las ecuaciones de Einstein sobre relatividad, en la cual la masa deforma el espacio-tiempo por lo que la geometría de un lugar esta relacionado con la distribución de masa y energía en esa misma región, por ejemplo una estrella como nuestro sol, deforma el espacio-tiempo mucho más fuerte que la tierra.

Como no tenemos una idea si el universo observable es todo lo que es ó si el universo observable es menor que el universo "total" los intentos por explicar su forma se han hecho tomando en cuenta solo el universo "local" u observable, en el cual la materia parece estar uniformemente distribuida (recordemos que estamos viendo un universo con un diámetro alrededor de 93,000 millones de años-luz) por lo que deberíamos poder calcular proximadamente la densidad del universo, la cual determina la curvatura, la geometría y por ende la "forma" del universo.

A alguien se le ocurrió usar la letra griega Omega (Ω) para representar el parámetro de densidad (¿Con que se come?), esto es el cociente de la densidad promedio del universo (observable) entre la densidad de energía crítica y seguro querrán saber:

¿Que es la densidad de energía crítica?
Es la densidad de energía necesaria para que el universo no tenga curvatura y sea plano, esto es que Ω=1.

Si Ω>1 el universo tiene una curva positiva, como una esfera.

Si Ω<1 el universo entonces tiene una curva negativa, como una silla de montar.

Imagen cortesía de NASA

¿Cuales son las consecuencias ó el significado de los valores para Ω?

Bueno, para Ω=1 no cambia mucho la cosa respecto a la realidad que percibimos, la geometría euclidiana con la que estamos familiarizados es verdadera, esto es las líneas paraleas no se cruzan, los ángulos internos de un triángulo suman 180^o, etcétera.

En el caso de Ω>1 la geometría que predomina a gran escala es la geometría elíptica, como en la geometría hiperbólica, las "rectas" son distintas a las de la geometría plana (Euclidiana), en este caso el valor de π disminuye, la suma interna de los ángulos internos de un triángulo suman más de 180^o, la distancia más corta entre dos puntos no es una línea recta, sino una geodésica y de un punto externo a una recta no pasa ninguna recta paralela a la primera.

Con Ω<1> en esta forma predomina la geometría hiperbólica, El valor de π se hace más grande, la suma de los ángulos internos de un triángulo suman menos de 180^o, por un punto externo a una recta pasan al menos dos rectas paralelas e incluso, hay triángulos en los que sus 3 ángulos son 0^o.

Las mediciones que realizó el WMAP arrojaron el dato de que la curvatura del universo observable es cero, con un margen de error de 2%, pero aún queda la duda de si el universo es abierto ó cerrado, si es abierto entonces podría crecer indefinidamente pero si es cerrado podrían ocurrir cosas curiosas como por ejemplo, zarpar al espacio en una dirección y volver al punto de partida por el lado opuesto de donde salió e incluso podrías volver con una simetría distinta con la que partiste, por ejemplo podrías salir de la tierra en una nave espacial, darle "la vuelta" al universo y cuando regresaras a la tierra, encontrarias que tu corazón está del lado derecho y no al izquierdo.

Como vemos, la geometría del universo afecta mucho como se mueven y incluso la forma de los cuerpos, por lo que el destino final del universo también depende de su forma, en el caso de que su curvatura fuera cero ó negativa el universo podría seguir creciendo para siempre y si la curvatura es positiva entonces algún día le dará marcha atrás a su expansión y se contraerá; pero como mencionamos el principio, esto nos queda desconocido por que aún no comprendemos totalmente como la energía oscura y la masa afectan al universo , de hecho la expansión acelerada no sé puede explicar solo mediante su geometría, por lo que aún hay muchas preguntas abiertas sobre cuales a la mejor nos toque algún día alcanzar a dislumbrar sus respuestas.

El Libro de geometría

Así es, con l mayúscula; muchas obras han influenciado o marcado personas a través de la historia, pero hay uno que se destaca por su antigüedad y su vigencia (para fines prácticos) que aún mantiene hoy en día, con un número de ediciones que solo es superado por la biblia tenemos a:

Los Elementos de Euclídes

Hace unos 2300 años aproximadamente, un personaje griego llamado Euclídes, del que no se sabe mucho, reunió todo lo que se sabía sobre geometría en su tiempo (y algo de teoría de números) en 13 libros, y no se detuvo ahí, si no que probablemente pensó algo como "Oigan, vayamos demostrando todo esto" y así, inició la demostración de varias proposiciones (incluyendo el famoso teorema de pitágoras, que es la proposición número 47 del primer libro) basandose solo en algunas sencillas definiciones, algunas nociones y 5 postulados (Aunque el 5^to postulado tiene una interesante historia que mantuvo ocupados 2 milenios a varios matemáticos) y de estos elementos, construye todo el edificio de la geometría plana, una obra maestra no nomás por su contenido, sino también por su formato, en el que se debía previamente demostrar algunos casos o proposiciones para después poder usarlas para demostrar significados más profundos.

Primera proposición de Euclides; dada una línea finita, se puede construir un triángulo equilátero tal que la línea dada sea uno de sus lados.

Esta obra influenció los trabajos de varios científicos como Galileo, Newton, Copernico, Kepler (notesé que fueron personajes en los que la geometría jugaba un importante papel para sus trabajos) mientras que otros intentaron hacer su versión de los elementos en sus respectivas disciplinas, como Rusell y Whitehead (Principia mathematica).

En Dios Wiki encontré algunos datos curiosos sobre personas famosas y esta obra:

• Abraham Lincoln siempre llevaba en su bolsa de viaje una copia de Los elementos, decía que "uno no puede ser abogado si no sabe el significado de demostrar" y supuestamente podía recitar todas las proposiciones.

• Einstein mencionó que dos de los regalos que más influenciaron en su vida fue una brújula y una copia de los elementos de Euclides, al cual se referia como "el pequeño libro sagrado de la geometría".

En el link de al último pueden leer el libro y ver en aplicaciones de Java cada uno de los postulados.

Los elementos de Euclídes

Phi o la sección de oro.

Recuerdo que de niño, mi mamá me compró un video de Disney que se llamaba "El pato donald en el país de las matemágicas" navegando por youtube encontre la parte donde explica φ

Google SketchUp

No es noticia nueva, pero todo sabemos del programa GRATIS que lanzó hace un buen google, Google SketchUp [puedes descargarlo aquí] es un programa sencillo, pues he visto la interfase de otros programas de 3d (mi hermana se dedica a eso) y resulta algo solo comprensible para los ya iniciados en esas oscuras artes. La razón de por que hasta ahorita me interesó fue por que me traje un montón de cajas de cierta cadena comercial que vende productos al mayoreo y se me ocurrió hacer una especie de escultura, pero para no fallarle ni desperdiciar cartón decidí invertir un poco de tiempo en algún programa para ver como quedaría más o menos y este fue el resultado, uno de los cubos esta dividido en planos (como si fueran hojas de papel) y el otro las "capas" ya tienen cierto grosor (como si fueran cartón) A ver que resulta.

click en la imagen para verla más grande.